Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 3 + 3 x + x^{2}$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + 3 (- \frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez $3 (- \frac{3}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - 3 (\frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Étape 3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2^{2}}$

Étape 3.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 18 + 9}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Soustrayez $18$ de $- 12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 30 + 9}{4}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 30$ et $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 21}{4}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{21}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{21}{4}$ .

$- \frac{21}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{21}{4})$

Étape 5